已知函数f(x)=ax⼀(x^2+b),在x=1处取得极值2.

(1):
f'(x)=a(b-x^2)/(x^2+b)^2,因为在x=1时取极值2，所以f'(1)=0;
由于分母不能为零，所以分子为零，即b-x^2=b-1=0,即b=1.
f(1)=a/(1+1)=2,所以a=4;
f(x)=4x/(x^2+1)
(2):
f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2,令f'(x)=0得x=1或-1
当f'(x)>0，即-1-1,2m+1<1即-1所以m的条件是-1(3):
f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
f''(x)=8x(x-3)/(1+x^2)^3
f''(x)=0时,x=0,x=3
f''(x)>0时,x>3,x<0
f''(x)<0时,0所以，f'(x)的最大值为f'(0)=4,f'(x)的最小值为f'(3)=-0.32
所以直线l的斜率k的取值范围是（-0.32,4）

解：f'(x)=(-ax^2+ab)/(x^2+b)^2,由f'(1)=0和f(1)=2得a=4,b=1
设y=f'(x)=(-4x^2+4)/(x^2+1)^2
则yx^4+2(y+2)x^2+y-4=0有非负根,
即yt^2+2(y+2)t+y-4=0(t=x^2)有非负根.
令u=yt^2+2(y+2)t+y-4,
①y>0时，开口向上，对称轴在y轴左侧，须有u(0)<=0
,即y<=4,
得到y的范围为0②
y<0时,开口向上，
（ⅰ）y<=-2时，对称轴在y轴左侧，须有u(0)>=0，即y>=4,无解；
（ⅱ）0=0,
得到y>=-1/2,
所以得到y的范围为0>y>=-1/2；
③y=0时，4t-4=0,解得t=1,合适.
综上所述，y的值域为4=>y>=-1/2,
所以倾斜角的范围为[∏-arctan(1/2),∏）∪[0,arctan4].