已知数列bn=n·(3^n),求数列{bn}的前n项和Sn.

要详细过程哦^.^

2025-03-04 14:25:27

推荐回答（3个）

回答1：

解：∵b[n]=n(3^n)
∴S[n]=1*3^1+2*3^2+3*3^3+...+n3^n
∵3S[n]=1*3^2+2*3^3+3*3^4+...+n3^(n+1)
∴2S[n]
=3S[n]-S[n]
=n3^(n+1)-[3^1+3^2+3^3+...+3^n]
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/(3-1)
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/2
=n3^(n+1)-3^(n+1)/2+3/2
=[(2n-1)3^(n+1)+3]2

∴S[n]=[(2n-1)3^(n+1)+3]/4

回答2：

用错位相减法

Sn=1*3^1+2*3^2+……n*3^n 所以（两边同时乘以3）

3Sn=1*3^2+2*3^3+……n*3^(n+1) 两式相减得

-2Sn=3+3^2+3^3+…… +3^n-n*3^(n+1)=3(1—3^n)/(1-3) -n*3^(n+1) (等比数列求和）
所以Sn=3(1—3^n)/4+[n*3^(n+1)]/2

回答3：

由错位相减法得，Sn=[(2n-1)*3'(n+1)+3]/4