求解一道数学选择压轴题f(x)=x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0,求实数a的取值范围

要想它大于0恒成立，这个4次多项式应该是一个二次多项式的平方，且这个多项式也是不为0的

假定这个多项式为x^2 +bx +1或者x^2 +bx -1
然后平方可以找到答案

a>2
我们假定它为某二次式的平方。
则有x^4+4x^3+ax^2-4x+1=(x^2+bx+1)^2，当b>0时，则x系数为正，不成立，当b<0时，x^3系数为负，不成立。所以不能分解成(x^2+bx+1)^2形式，只能是(x^2+bx-1)^2的形式。而(x^2+bx-1)^2=x^4+2bx^3+(b^2-2)x^2-2bx+1，那么2b=4，a=b^2-2，得b=2，则a=b^2-2=2。所以x^4+4x^3+2x^2-4x+1=(x^2+2x-1)^2>=0。而a>2时，则a-2>0，于是(a-2)x^2>=0，仅当x=0时，(a-2)x^2=0，而x^4+4x^3+2x^2-4x+1=1，所以a>2时，x^4+4x^3+ax^2-4x+1恒大于0。而当a<2时，则有x^4+4x^3+ax^2-4x+1=(x^2+(2+√(2-a))x-1)(x^2+(2-√(2-a))x-1)(a<2)，而因为常数项是-1，所以以上两个多项式中每个吊塔必大于0。以上方程必有四个不等实根。所以可以小于0，不成立。
综上，当a>2时，f(x)=x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0。