13问答网 > 已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(?13，1)，求函数g（x）的解

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(?13，1)，求函数g（x）的解

2025-04-26 09:06:23

推荐回答（1个）

回答1：

（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由题意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

，1）
即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

，1
将x=1或-

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g'（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）?P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-

对x∈（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=lnx-

，则h′（x）=

2x2

(x?1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范围是[-2，+∞）