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设a,b,c都是正数,求证bc⼀a+ca⼀b+ab⼀c>=a+b+c

2025-03-04 05:54:31

推荐回答（3个）

回答1：

这是个循环不等式：
bc/a+ca/b≥2√（bc/a×ca/b)=2√c²=2c(当且仅当a=b时成立等号）
bc/a+ab/c≥2√（bc/a×ab/c)=2b(当且仅当a=c时成立等号)
ca/b+ab/c≥2√(ca/b×ab/c)=2a(当且仅当b=c时成立等号)
∴2(bc/a+ca/b+ab/c)≥2(a+b+c)
∴bc/a+ca/b+ab/c≥a+b+c(当且仅当a=b=c时成立等号）

回答2：

证明：
a,b,c>0
bc/a+ac/b>=2根(bc/a*ac/b)=2c
同理：
ac/b+ab/c>=2a
bc/a+ab/c>=2b

三式相加：
2(bc/a+ac/b+ab/c)>=2(a+b+c)
所以
bc/a+ac/b+ab/c>=a+b+c

回答3：

两边同时乘以2，左边两两组合，同时用3个基本不等式，就可以得证。
若还不会，可再问我