关于第二类曲线积分与积分路径有无关系

证明：

设Ω是平面xyz空间的曲面单连通闭区域，函数P(x, y, z) 、Q(x, y, z) 、R(x, y, z)

在Ω内都具有一阶连续偏导数，则下列四种情况两两等价

第一种情况：

沿 Ω 内任何光滑闭曲线C，恒有

第二种情况：

对 Ω  内任何一个光滑曲线段C(A, B)，曲线积分

仅与 C(A, B)的起点A、终点B有关，而与路径无关。

第三种情况： Pdx + Qdy + Rdz  在 Ω 内是某一个函数 u(x, y, z)的全微分，即在内恒有du = Pdx + Qdy + Rdz

第四种情况：在  Ω 内每一点处恒有

由上述第二种情况可知，曲线积分仅与所求曲线的起点A、终点B有关，而与路径无关。

证毕。

扩展资料：

如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.

注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。

参考资料：百度百科-曲线积分与路径无关性

积分与路径无关是有条件的。
满足条件就无关，不满足条件就有关。
在一定的前提下，条件是，
设dx前面的函数为P，dy前面的函数为Q，
则【P'y=Q'x】是无关的条件。