电势与场强的关系。

它们之间没有必然联系
电势高的地方场强不一定大
场强大的地方电势不一定高
电势跟电场线的方向有关系
沿电场线方向电势降低
场强跟电场线的疏密程度有关
电场线越密的地方场强越大
电场线越疏的地方场强越小

电场强度与电势的关系是无直接关系，因为某点电势的值是相对选取的零点电势而言的，选取的零点电势不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定。

电场强度是用来表示电场的强弱和方向的物理量，实验表明，在电场中某一点，试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力与其所带电荷的比值是一个与试探点电荷无关的量。于是以试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的方向为电场方向，以前述比值为大小的矢量定义为该点的电场强度，常用E表示。按照定义，电场中某一点的电场强度的方向可用试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的电场方向来确定，电场强弱可由试探电荷所受的力与试探点电荷带电量的比值确定。上一节根据电场力做功的特点，从电场定义了电势并得出了静电场的无旋性特征。现在考虑相反的问题：电势与电场有什么关系？给定电势 u(\vec{r}) 如何计算电场 \vec{E}(\vec{r}) ？在工程实际中这类问题往往更具有实际意义，因为大多数情况下无法预先得知（也很难准确测量）电荷分布也就难以运用电场叠加原理求解电场分布，但测量或给定电势分布相对容易得多。

从电势的定义出发，为简单起见在直角坐标系 O(x,y,z) 中考虑问题。 \vec{E}(\vec{r}) 是一个对坐标的矢量函数，其三个分量一般地都是3个空间坐标的函数，也就是 \vec{E}(\vec{r})=E_x(x,y,z)\vec{i}+E_y(x,y,z)\vec{j}+E_z(x,y,z)\vec{k} ，直角坐标系下的弧元矢量 d\vec{l}=\vec{i}dx+\vec{j}dy+\vec{k}dz ，把这些关系代入上一节所述电势的定义得到：

u(\vec{r})=\int_{\vec{r}}^{\vec{r_0}}\vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{l}=\int_{\vec{r}}^{\vec{r_0}}E_xdx+E_ydy+E_zdz

因电势参考点 \vec{r_0} 固定，考虑当 \vec{r} 变化为 \vec{r}+d\vec{r} 时 u(\vec{r}) 变化为 u(\vec{r}+d{\vec{r}}) ，应用数学中的变下限定积分的计算方法，得出：

\Delta u=u(\vec{r}+d\vec{r})-u(\vec{r})==\int_{\vec{r}+d\vec{r}}^{\vec{r}}E_xdx+E_ydy+E_zdz=-(E_xdx+E_ydy+E_zdz)

另一方面， u(\vec{r})=u(x,y,z) 是坐标的3元标量函数，按多元函数的导数计算法则其全导数为 \frac{du(\vec{r})}{d\vec{r}}=\frac{\partial u}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\vec{k}=\nabla u ，将全增量 \Delta u=u(\vec{r}+d\vec{r})-u(\vec{r}) 用全微分 du(\vec{r})=\frac{du(\vec{r})}{d\vec{r}} \cdot d\vec{r}=\frac{du(\vec{r})}{d\vec{r}} \cdot (\vec{i}dx+\vec{j}dy+\vec{k}dz) 代替，对比这两个 \Delta u 的表达式立即得到：

E_x=-\frac{\partial u}{\partial x},E_y=-\frac{\partial u}{\partial y},E_z=-\frac{\partial u}{\partial z},

写成矢量形式就是 \vec{E}(\vec{r})=-\nabla u(\vec{r}) ，这里的 \nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k} 称为矢量微分算子（的直角坐标形式）。所谓“算子”是指由函数到另一个函数的变换。矢量微分算子将标量函数u(\vec{r})变换为矢量函数 \vec{E}(\vec{r}) ，\nabla u(\vec{r})在数学上称为取标量场 u(\vec{r}) 的梯度，可见 \vec{E}(\vec{r}) 就是u(\vec{r})的负梯度。

熟悉一元函数微积分的读者会很清晰地感受到，上述的分析过程十分类似于使用变上限定积分来推导一元函数微积分理论中的牛顿—莱布尼茨公式。虽然电场和电势都是多元函数（在矢量分析中，多元标量函数也称为数性函数，类似电场强度这样的与坐标相关的多个多元函数的有序组合也称为矢性函数），但这里的数学关系其实与一元函数的情形并无差异，本质上都是函数的小增量与函数的导数之间的关系。

上式为求解静电场分布提供了另一种方法：对于预先知道电荷分布的情形，可以先用电势叠加原理计算电势分布，再取负梯度就得到电场分布。这比直接使用电势叠加原理计算矢量和（需要同时考虑矢量的大小和方向）要简便得多。

既然 u(\vec{r}) 是一个标量函数，在空间中u(\vec{r})等于一组给定数值的点的集合，就在空间中组成一族曲面，称为等势面。

现在研究等势面和电场线的关系。考虑经过 \vec{r_A} 处的等势面在 \vec{r} 处的法向量 \vec{n} ，这个法向量 \vec{n} 可以通过等势面方程 u(\vec{r})-u({\vec{r_A}})=F(x,y,z)=0 求得（注意这时候 u({\vec{r_A}}) 是常数，因而对 F(x,y,z) 的偏导数就等于对 u(\vec{r}) 的偏导数），所得的结果为：

\vec{n}=\frac{\partial u}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\vec{k}

根据刚得到的关系，显然法向量 \vec{n} 与该处的电场线的方向向量 \vec\tau=E_x\vec{i}+E_y\vec{j}+E_z\vec{k} 反向，因此在任意点\vec{r}处的电场线与等势面必然相互垂直，且电场线指向等势面降低的方向。

使用ANSYS或COMSOL等数值分析工具，也可以绘制出给定电荷分布下的等势面。等量同种电荷（以正电荷为例）和等量异种电荷建立的电场的等势面（实际是等势面与纸平面相交所得的等势线）如下图所示，下图中还给出了部分点处的电场强度矢量（箭头长度与电场强度的数值成对数关系），可以清晰地看出同一点处的等势线与电场强度矢量垂直。

孤立点电荷的等势面

等量同种电荷（以正电荷为例）的等势面

等量异种电荷的等势面