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已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1) 2 ,其中,a为实常数且a≠0.(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若
已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1) 2 ,其中,a为实常数且a≠0.(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若
2024-12-05 00:31:02
推荐回答(1个)
回答1:
(Ⅰ)
f
′
(x)=
a
x+1
+2(x+1)=
2
(x+1)
2
+a
x+1
(2分)
因为f(x)的定义域为(-1,+∞),所以x+1>0
当a>0时,f′(x)>0,此时f(x)的单调增区间为(-1,+∞)(4分)
当a<0时,2(x+1)
2
>-a,即
x>-1+
-
a
2
时f′(x)>0,
此时f(x)的单增区间为
(-1+
-
a
2
,+∞)
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在(-1,+∞)单调增,而当x→0时,f(x)→-∞
所以此时f(x)无最小值,不合题意(7分)
当a<0时,f(x)在
(-1,-1+
-
a
2
)
上单调减,在
(-1+
-
a
2
,+∞)
上增,
所以
f(x)≥
a
2
恒成立,即
f(-1+
-
a
2
)≥
a
2
?aln
-
a
2
+(
-
a
2
)
2
≥
a
2
(10分)
?ln
-
a
2
≤1
,得
0<
-
a
2
≤e?-2
e
2
≤a<0.
(12分)
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