13问答网 > 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；

2025-05-04 18:52:45

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回答1：

（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BD是B₁D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B₁D．
（Ⅱ）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵AA₁=AB∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）解：由图知VC?AB1D＝VB1?ADC，AA₁=AB=a，
∴VC?AB1D＝VB1?ADC=

S_△ADCBB₁=

a3．