如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，并且A、E、D三点在同一直线上。求证：BD+CD=AD。

∵△ABC、△BDE是等边三角形 （已知）
∴AB=CB，∠ABC=60°，BE=BD=ED，
∠EBD=60°（等边三角形的性质）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD=∠EBD=60°
∴∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中
｛AB=CB （已证）
｛∠ABE=∠CBD （已证）
｛BE=BD （已证）
∴△ABE全等与△CBD （S.A.S)
∴AE=CD（全等三角形对应边相等）
又∵BD=ED（已证）
∴BD+CD=ED+AE=AD （等量代换）

因为△ABC是等边三角形
所以AB=CB,∠ABC=60°
又因为△BDE是等边三角形
所以BE=BD=ED
∠EBD=60°
因为∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD=∠EBD=60°
所以∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中
｛AB=CB
｛∠ABE=∠CBD
｛BE=BD
所以△ABE全等与△CBD
所以AE=CD
又因为BD=ED
所以BD+CD=ED+AE=AD

∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,DE=BD,角ABC=∠EBD
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD
∴∠ABE=∠CBD
∵AB=BC,DE=BD
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴CD=AE
∴AD=AE+DE=CD+BD

证明：
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴BC=AB BD=BE ∠ABC=∠EBD=60°
故△ABE全等△CBD
则CD=AE
又BD=ED
得BD+CD=AD
命题得证

运用旋转的知识！！！