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在微积分里，为何有△y = f(x+dx) - f(x) = f✀(x)dx + o(dx)

2025-02-27 08:46:37

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回答1：

Δy=f(x+Δx)-f(x),这是增量的定义.

而如果Δy能写成AΔx+ο(Δx)的形式,其中A不依赖于Δx,则称f(x)可微分.所以对于不可微的函数来说,第二个等号是不成立的.
而如果函数可微,上式中的A就恰好是f'(x),即如果函数可微,那么Δy=f'(x)Δx+ο(Δx).并且习惯上将Δx写成dx,所以就有了你的第二个等号.
为什么A就恰好是f'(x)呢,在Δy=AΔx+ο(Δx)的两边除以Δx,再令Δx→0,就有
lim(Δx→0)Δy/Δx=lim(Δx→0)A+ο(Δx)/Δx=A+0=A
等式左边恰好是导数的定义式,即有f'(x)=A

回答2：

套公式