如图，一次函数y=x-1图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且BC=2BO，过A，C两点的抛物线交

（1）∵一次函数y=x-1图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为：（0，-1），
∵BC=2BO，
∴点C的坐标为（0，-3），
∵CD∥x轴，
∴点D的纵坐标等于点C的纵坐标，为-3，
∵点D在直线y=x-1上，
∴x-1=-3
解得：x=-2，
∴点D的坐标为（-2，-3）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
∵经过A、C、D三点，
∴

a+b+c＝0 c＝?3 4a?2b+c＝?3

解得：a=1，b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3．

（2）∵点P在直线y=x-1上，
∴设点P的坐标为（x，x-1），
∵过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，
∴点E的坐标为（x，x²+2x-3），
∴PE=x-1-（x²+2x-3）=-x²-x+2=-（x-

1

2

）²+2

1

4

，
故线段PE的最大值为2

1

4

；

（3）设存在抛物线上的点M，使得AD²+DM²=AM²，
设点M的坐标为（a，a²+2a-3），
∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（-2，-3）
∴AD²=[1-（-2）]²+3²=18
如图，作DF⊥x轴与点F，MG⊥x轴于点G，
∴AM²=AG²+MG²=（1-a）²-（a²+2a-3）²，
DM²=DH²+MH²=（a+2）²-（a²+2a-3+3）²，
∵AD²+DM²=AM²，
∴（1-a）²-（a²+2a-3）²=（a+2）²-（a²+2a-3+3）²+18
解得：a=-1或-2，
当a=-1时，a²+2a-3=-4，
∴此时点M的坐标为（-1，-4）
当a=-2时，a²+2a-3=-3，
此时点M的坐标与点D的坐标相同，
故点M的坐标为：（-1，-4）．