13问答网 > 已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=g（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处具

已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=g（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处具

2025-02-28 13:21:51

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回答1：

（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1=c，g（1）=1+b=c，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．c=4．
（2）由a²+b=0得b=-a²，设h（x）=f（x）+g（x）=ax²+1+x³-a²x．
则h′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），令h′（x）=0，解得：x=-a＜0或x=

＞0，

x	（-∞，-a）	-a	（-a，0）
h′（x）	+		-
h（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴原函数在（-∞，-a））单调递增，在（-a，0）单调递减，
①若-1≤-a，即0＜a≤1时，此时函数在区间（-∞，-1]单调递增，最大值为h（-1）=a²+a；
②若-1＞-a，即a＞时，最大值为最大值为h（-a）=a³+1
综上所述：当a∈（0，1]时，最大值为h（-1）=a²+a；
当a∈（1，+∞）时，最大值为h（-a）=a³+1．