已知下列数列{an}的前n项和的公式Sn,求{an}的通项公式

第一种解法：
解：
n=1时，a1=1
n≥2时，
Sn=n²an
Sn-1=(n-1)²a(n-1)
an=Sn-Sn-1=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an=(n-1)a(n-1)/(n+1)
a(n-1)=(n-2)a(n-2)/n
…………
a2=a1/3
连乘
a2a3...an=a1a2...a(n-1)[(n-1)(n-2)...1]/[(n+1)n...3]=2a1a2...a(n-1)/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)]
n=1时，a1=2/(1×2)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2/[n(n+1)]

第二种解法：
解：
n=1时，a1=1
n≥2时，
Sn=n²an
Sn-1=(n-1)²a(n-1)
an=Sn-Sn-1=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1) 到这里和第一种方法是一样的。
n(n+1)an=n(n-1)a(n-1)
an/[n(n-1)]=a(n-1)/[n(n+1)]
an[1/(n-1)-1/n]=a(n-1)[1/n-1/(n+1)]
an/[1/n-1/(n+1)]=a(n-1)/[1/(n-1)-1/n]
a1/(1/1-1/2)=1/(1/2)=2
数列{an/[1/n-1/(n+1)]}是各项均为2的常数数列。
an/[1/n-1/(n+1)]=2
an=2[1/n-1/(n+1)]=2/[n(n+1)]
数列{an}的通项公式为an=2/[n(n+1)]

Sn=n^2an 递推得到Sn-1=(n-1)^2a(n-1)
两式相减得到an=n^2an-(n-1)^2a(n-1)
所以有（n^2-1)an=(n-1)^2a(n-1)
所以得到（n+1)an=(n-1)a(n-1)
所以an/an-1=(n-1)/(n+1)
递推得到an-1/an-2=(n-2)/n
an-2/an-3=(n-3)/n-1
.....
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
上面所有式子累乘得到an/a1=2/n(n+1)
因为a1=1
所以得到an=2/n(n+1)

1.
S1=a1=1
S2=a1+a2=1+a2=2²×a2=4a2
3a2=1
a2=1/3 S2=1+1/3=4/3
S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=4/3 +a3=3²×a3=9a3
8a3=4/3
a3=1/6 S3=1+1/3+1/6=3/2
S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+a4=3/2 +a4=4²×a4=16a4
15a4=3/2
a4=1/10 S4=1+1/3+1/6+1/10=8/5

S1=1/1=2/2 S2=4/3 S3=3/2=6/4 S4=8/5
猜想：Sn=2n/(n+1)

2.
证：
n=1时，S1=2/2
假设当n=k(k∈N+)时，Sn=2k/(k+1)，则当n=k+1时，
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k/(k+1) +a(k+1)=(k+1)²a(k+1)
[(k+1)²-1]a(k+1)=2k/(k+1)
(k+2)ka(k+1)=2k/(k+1)
a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)]
S(k+1)=2k/(k+1) +2/[(k+1)(k+2)]
=[2k(k+2)+2]/[(k+1)(k+2)]
=(2k²+4k+2)/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)²/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)/(k+2)
=2(k+1)/[(k+1)+1]，表达式同样成立。
k为任意正整数，因此对于任意正整数n
Sn=2n/(n+1)

n≥2时，Sn=2n/(n+1) S(n-1)=2(n-1)/(n+1-1)=2(n-1)/n

an=Sn-S(n-1)=2n/(n+1)-2(n-1)/n
=2[n/(n+1) -(n-1)/n]
=2[n²-(n-1)(n+1)]/[n(n+1)]
=2(n²-n²+1)/[n(n+1)]
=2/[n(n+1)]
=2/n -2/(n+1)
n=1时，a1=2/1-2/2=2-1=1，同样满足通项公式。
综上，得数列{an}的通项公式为an=2/n -2/(n+1)。