分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前
400
年左右即为人类总结运
用。
构造法是微积分学，代数学自身的方法。
分析法
——
尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。
一元微积分讲究条件分析。要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。为了弥
补非数学专业学生的
“
短板
”
，我建议大家把考研题目中出现频率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。比如
已知条件
“f
（
x
）连续，且
x
趋于
0
时，
lim(f
（
x
）
/x) = 1”
的推理。
（见讲座（
9
）基本推理先记熟。
）
已知条件
“f
（
x
）在点
x0
可导，且
f ′(x0) > 0 ”
的推理。
（这是阐述
“
一点可导且导数大于
0
与一段可导且导数大
0
的差别；
证明洛尔定理
（费尔玛引理）
，
达布定理，
……
，
等的关键。
见讲座（
11
）洛尔定理做游戏；讲座（
17
）论证不能凭感觉。
）
已知条件
“
非零矩阵
AB = 0”
的推理。
（见讲座（
42
）矩阵乘法很惬意。
）
已知
“
含参的三阶方阵
A
能与对角阵相似，且
A
有二重特征值。计算参数。
”
的推理。
（见讲座（
48
）中心定理路简明。
）
“
已知连续型随机变量
X
的分布函数或随机向量（
X
，
Y
）的密度函数，求函数型随机变量
U = φ (x)
或
U =φ(x
，
y) ”
的推理计算
（见讲座（
78
）分布函数是核心。
）
一个娴熟的推导就是一条高速路啊。你非常熟练了吗？！
综合法
——
由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。
最典型的范例是考研数学题目
“
证明有点
ξ
，满足某个含有函数及其导数的关系式
”
。
例
设函数
f
(
x
)
在闭区间
[0
，
1]
上连续，在开区间（
0
，
1
）内可导，且
f
(0) = 0
，则区间（
0
，
1
）内至少有一点
ξ
，
使得
f
(
ξ
)
f
′
(1―
ξ
) =
f
′
(
ξ
)
f
(1―
ξ
)
分析
（综合法）即要证明
f
(
ξ
)
f
′
(1―
ξ
) ―
f
[b′(
ξ
)
f
(1―
ξ
) = 0
点
ξ
是运用某个定理而得到的客观存在。用
x
替换
ξ
，就得到刚运
用了定理，还没有把点
ξ
代入前的表达式。
即
f
(
x
)
f
′
(1―
x
) ―
f
′
(
x
)
f
(1―
x
) = 0
（在点
x =
ξ
成立
）
联想到积函数求导公式
，即（
f
(
x
)
f
(1―
x
)
）
′
= 0
（在点
x =
ξ
成立
）
这就表明应该作辅助函数
F
(
x
) =
f
(
x
)
，证明其导数在（
0
，
1
）内至少有一零点。
易知
F
(0) =
F
(1) = 0
，且
F
(
x
)
在
[
a
,
b
]
连续，在（
a
,
b
）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论。
当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路。如果关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式。
反证法
——
……
。
这是大家都较为熟悉的方法。但是你也许没有注意到，用反证法简单可证的一个小结论，在微积分中有着很
广的应用。粗糙地说，这就是
“A
极限存在（或连续，或可导）
+ B
极限不存在
（或不连续，或连续不可导）
=
？
”
随便选一说法用反证法，比如
如果，
“
连续
A
+
不连续
B =
连续
C”
则
“
连续
C-
连续
A
=
不连续
B”
这与定理矛盾。所以有结论：
连续函数与不连续函数的和一定不连续
。不过要注意，证明是在
“
同一个点
”
进
行的
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