矩阵范数的定义

1.第一种定义———p范数

设｛x：‖x‖_p＝1｝，则对于给定的n阶矩阵A存在相应的向量集合｛Ax：‖x‖_p＝1｝，定义

地球物理数据处理基础

为从属于某种向量范数的矩阵范数，简称从属范数。因为是通过向量p范数定义的矩阵范数，也称p范数或算子范数。

由定义可知，‖x‖_p的含义是向量集合｛Ax：‖x‖_p＝1｝中各向量都有一个对应的范数，其中最大的就是‖x‖_p。可见，这是具体的定义方法，其优点可以把矩阵范数与向量范数用一个公式联系起来，使两者相容。由于单位矩阵 ‖x‖_p＝1，所以‖I‖_p＝1是从属范数的一个特征。

矩阵范数有分别从属于‖x‖₁，‖x‖₂和‖x‖_∞的三种具体形式。

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称为列和范数（矩阵各列向量的“和范数”中最大者）。

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称为A的2－范数。式中A^TA称为格兰姆矩阵，λ₁（A^TA）表示A^TA的最大特征值。因为λ₁（A^TA）就是A^TA的谱半径，又称‖A‖₂是A的谱范数。

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称为行和范数（矩阵各行向量“和范数”中的最大者）。

2.第二种定义———F范数

定义：

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为A的F范数（Frobenius），这是将向量2－范数概念直接推广到R^n×n空间中的范数，也可以把这种范数记为‖A‖_E，称为欧氏范数。

注意F范数不从属于任何一种向量范数，它与‖x‖₂相容，但并不从属于‖x‖₂。这时，单位阵I的任一种从属范数