数学归纳法: 1^3+3^3+5^3+.......+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

设前n项和为S(n）
（1）。当n=1时显然成立
（2）。假设当n=k时上式成立
则当n=k+1时
S（k）+{2(k+1)-1}^3
S（k）+(2k+1)^3
=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3(二项展开）
=2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1
=2k^4+8k^3+12k^2+8k+2-k^2-2k-1(关键一步）
=2(k^4+4k^3+6k^2+4k+1)-(k^2+2k+1)
二项展开反用
=2(k+1)^4-(k+1)^2
=(k+1)^2{2(k+1)^2-1}=S(k+1)
则综合（1）（2）
定理得证

呵呵 一些细节可能写的不好 但大体应该还是对了

1.n=1
1^3=1 1^2(2*1^2-1)=1
左边=右边，等式成立。
2.n>=2
设n=k(k>=2)时等式成立，即
1^3+3^3+...+（2k-1）^3=k^2(2k^2-1)
当n=k+1时，
等式左边：
1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3=2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1
=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1
等式右边：
(k+1)^2 (2(k+1)^2-1)=(k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1
左边=右边
所以n=k+1时等式成立，所以
1^3+3^3+5^3+.......+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
对任意n∈Z均成立

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