数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=12(xn+axn)，n∈N．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明

解答：证明：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，
可归纳证明x_n＞0．
从而有x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)≥

xn? a xn

＝

a

（n∈N），
所以，当n≥2时，x_n≥

a

成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)
所以x_n+1-x_n=

1

2

(xn+

a

xn

)?xn＝

1

2

?

a? x

xn

≤0，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，因为x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，
所以

xn+1

xn

＝

1 2 (xn+ a xn )

xn

＝

x +a

2 x

≤

x + x

2 x

=1，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）解：记

lim

n→∞

x_n=A，则

lim

n→∞

x_n+1=A，且A＞0．
由x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，得A=

1

2

(A+

a

A

)．
由A＞0，解得A=

a

，故

lim

n→∞

x_n=

a

．