y=x⼀e^x的n阶导数具体步骤？

2025-04-23 09:24:04

推荐回答（3个）

回答1：

先对函数进行变形，得到：
y=xe^(-x)
则：
y(n)=∑(0,n)C(n,r）x^(r)*[e^(-x)]^(n-r)
=C(n,0）x*[e^(-x)]^(n)+C(n,1）*[e^(-x)]^(n-1)
=(-1)^n*x*e^(-x)+n*(-1)^(n-1)*e^(-x)
=e^(-x)*[x*(-1)^n+n*(-1)^(n-1)].

回答2：

回答3：

y=xe^(-x),
y'=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x),
y''=-e^(-x)-(1-x)e^(-x)=(x-2)e^(-x),
y'''=e^(-x)-(x-2)e^(-x)=(3-x)e^(-x),,
设y(k)=(k-x)(-1)^(k+1)*e^(-x),则
y(k+1)=-(-1)^(k+1)*e^(-x)-(k-x)(-1)^(k+1)*e^(-x)
=[(k+1)-x](-1)^(k+2)*e^(-x),
由数学归纳法，对任意正整数n,y(n)=(n-x)(-1)^(n+1)*e^(-x).