∫[1⼀(3+cosx)]dx=

令t=tanx/2

x=2arctant

dx=2/(1+t^2)dt

cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

代入得：
∫1/(3+cosx)dx

=∫1/(3+(1-t^2)/(1+t^2)）*2/(1+t^2)dt

=∫1/(2+t^2)dt=(1/√2)arctan(t/√2)+C

=(1/√2)arctan(tan(x/2)/√2)+C 

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

求不定积分的方法：

1、换元积分法：

可分为第一类换元法与第二类换元法。

第一类换元法（即凑微分法）

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

2、分部积分法

公式：∫udv=uv-∫vdu

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。一个不定积分的原函数有无数个。

简单计算一下即可，答案如图所示

令x＝2u,则：u＝x/2,dx＝2du.
∴∫［1/（3＋cosx）］dx
＝2∫［1/（3＋cos2u）］du
＝2∫｛1/［3＋2（cosu）^2－1］｝du
＝2∫｛1/［2＋2（cosu）^2］｝du
＝∫｛1/［1＋（cosu）^2］du
＝∫｛1/［2（cosu）^2＋（sinu）^2］｝du
＝∫｛1/［2＋（tanu）^2］｝［1/（cosu）^2］du
＝（1/2）∫｛1/［1＋（1/2）（tanu）^2］｝d（tanu）
＝（√2/2）∫｛1/［1＋（1/2）（tanu）^2］｝d［（1/√2）tanu］
＝（√2/2）arctan［（1/√2）tanu］＋C
＝（√2/2）arctan［（√2/2）tan（x/2）］＋C