13问答网 > 已知正项等比数列{an}满足log2 a1+log2 a2+...+log2 a2009=2009，则log2（a1+a2009）的最小值为多少

已知正项等比数列{an}满足log2 a1+log2 a2+...+log2 a2009=2009，则log2（a1+a2009）的最小值为多少

2025-01-03 02:57:56

推荐回答（2个）

回答1：

log2(a1a2*……*a2009)=2009
a1a2*……*a2009=2^2009

a1a2009=a2a2008=……=a1004a1006=(a1005)²
所以a1a2*……*a2009=(a1005)^2009
所以a1005=2

a1+a2009>=2√(a1a2009)=2√(a1005)²=2a1005=4
所以log2(a1+a2009)>=2
所以最小值=2

回答2：

log2 a1+log2 a2+...+log2 a2009=2009
log2 （a1 a1……a2009）=2009
由于an是等比数列
a1*a2009 =a2*a2008=……=a1005*a1005
那么a1005^2009=2^2009
由于所有项都正的
log2 a1005^2009=2009
a1005=2

log2（a1+a2009）>=log2(2根号（a1*a2009）)=log2(2根号（a1005²）)
=log2（2*2）=2
所以最小值是2