如何证明:根号2根号3根号5不能为同一等差数列三项.

要快啊！

2025-02-27 06:07:40

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回答1：

反证法.
假设an=根号2，am=根号3，ak=根号5，正整数n,m,k互不相等.
即a1+(n-1)d=根号2，a1+(m-1)d=根号3，a1+(k-1)d=根号5，
==>(m-n)d=根号3-根号2，(k-n)d=根号5-根号2，
==>d=(根号3-根号2)/(m-n)=(根号5-根号2)/(k-n)，
==>(k-n)/(m-n)=(根号5-根号2)/(根号3-根号2)
=(根号5-根号2)(根号3+根号2)=根号15-根号10+根号6-2,-----(*)
由于(*)等式左边为有理数，右边为无理数，所以(*)不成立，
即(*)没有正整数解n,m,k，因此假设不成立。

回答2：

证明：
假设√2，√3，√5成等差数列
那么：√5-√3=√3-√2
√5+√2=2√3
（√5+√2）²=（2√3）²
5+2+2√10=12
7+2√10是无理数
12是有理数
7+2√10=12
说明：有理数可以等于无理数
然而事实上，无理数不可能等于有理数
所以：假设不成立
所以：√2，√3，√5不能是等差数列。