13问答网 > 已知函数 f(x)= 2 x +alnx-2 （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直

已知函数 f(x)= 2 x +alnx-2 （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直

2025-02-22 09:47:43

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回答1：

（Ⅰ）函数y=f（x）的导数为f′（x）=-

2

x 2

+

a

x

，则
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，直线y=x+2的斜率为1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
（Ⅱ）求导数可得 f′(x)=

ax-2

x 2

(x≥1)
a≥2时，f′（x）≥0，函数在x∈[1，+∞）上单调递增，∴f（x）_min =f（1）=0，满足题意；
a＜2时，f′（x）＜0，函数在x∈[1，+∞）上单调递减，∴f（x）_max =f（1）=0，不满足题意
综上，a的范围为[2，+∞）．