设矩阵A=(a1,a2,a3,a4)的秩r（A）=3，且a1=a2+a3.设β=a1+a2+a3+a4,则线性方程组Ax=β的通解为

秩r(A)=3，
那么齐次方程组Ax=0有4-3=1个解向量，
现在a1=a2+a3
所以
a1-a2-a3+0*a4=0
即Ax=0的解为(1,-1,-1,0)^T
又β=a1+a2+a3+a4
所以
A*(1,1,1,1)^T=β，即非齐次方程的特解为(1,1,1,1)^T
于是Ax=β的通解为
c*(1,-1,-1,0)^T+(1,1,1,1)^T，C为常数

b=a1+a2+a3+a4得到特解为（1,1,1,1）
0=a1-2a2+a3得到齐次解（1,-2,1,0）（只有这一个，因为a得秩是3
，齐次解只能有4-3=1个）
所以通解为（1,1,1,1）+α（1,-2,1,0）
(其中α为任意数）
线性方程组ax=b,b=(0,0,...,0)'时,成为齐次线性方程组，否则成为非齐次的；
你题中的a1,a2,a3,a4均是列向量，可以写成x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b,
因为已经告诉了b=a1+a2+a3+a4,所以有一个特解是(1,1,1,1),
知道特解后，还需要找到ax=0的基本解系（就是找到ax=0的一组线性无关
解，并且这组线性无关的解能表示ax=0的所有解），
a2,a3,a4线性无关，基础解系里只有一个解，如果有多个，以两个为例，总可以在前面添加乘以适当的非零倍数，使第一个分量为零，此时也应该是ax=0的解，而且是用a2,a3,a4表示的，即存在系数m,n,k使得ma2+na3+ka4=0，m,n,k只能全为零（a2,a3,a4否则线性相关），此时基础解系里两个解线性相关，与基础解系的定义矛盾。
由a1=2a2-a3得到x=（1，-2,1,0）时ax=0，所以它就是要找的基础解系，就得到最前的解了。