13问答网 > 已知斜三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的侧面A 1 ACC 1 与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 3

已知斜三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的侧面A 1 ACC 1 与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 3

2025-05-04 17:18:26

推荐回答（1个）

回答1：

（1）因为侧面A₁ ACC₁ ⊥底面ABC，AA₁ ?侧面A₁ ACC₁ ，
侧面A₁ ACC_1∩ 底面ABC=AC
所以直线AA₁ 在底面ABC内的射影为直线AC
故∠A₁ AC为侧棱AA₁ 与底面ABC所成的角
又AC=AA₁ =A₁ C，所以∠A₁ AC=60°为所求．（4分）
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁ M，MN，NA₁
由（1）知A₁ M⊥AC
故A₁ M⊥底面ABC，A₁ M⊥AB
又MN ∥ BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁ M=M，所以AB⊥平面A₁ MN
则∠A₁ NM即为所求二面角的平面角
在RtA₁ MN中， A 1 M=

AC=3，MN=

BC=1，∠ A 1 MN=90°
所以 tan∠ A 1 MN=

A 1 M

=3 ，即所求二面角的正切值为3．（8分）
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB₁ ∥ 侧面A₁ ACC₁
所以点B到侧面A₁ ACC₁ 的距离即为BB₁ 到侧面A₁ ACC₁ 的距离．

由（1）（2）知，BH的长即为所求
在Rt∠ABC中，BH=

AB?BC

所以侧棱B₁ B和侧面A₁ ACC₁ 的距离为

．（12分）