证明正项级数 （2^n）sin（派⼀（3^n））收敛

具体回答如下：

对级数：∑[(n!*2^n)/n^n]*sin(nπ/3)

记：u(n)=[(n!*2^n)/n^n]

由于：lim(n→∞)u(n+1)/u(n)

=2*lim(n→∞)[n/(n+1)]^n

=2*lim(n→∞)[1/(1+1/n)^n]

=2/e<1

所以比值判别法得知正项级数∑[(n!*2^n)/n^n]收敛。

而：|[(n!*2^n)/n^n]*sin(nπ/3)|≤(n!*2^n)/n^n。

据比较判别法，得知原级数绝对收敛。

正项级数意义：

在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。

所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。

解：∵n→∞时，sin(π/3^n)~π/3^n，∴级数∑(2^n)sin(π/3^n)与级数∑(2^n)[(π/3^n)]有相同的收敛性。
而，∑(2^n)[(π/3^n)]=π∑(2/3)^n，是首项为1【或者2/3或其它定值，视n的起始值定】、公比q=2/3的等比数列，收敛。
∴级数∑(2^n)sin(π/3^n)收敛。供参考。

简单计算一下即可，答案如图所示