y"-y✀＝xe∧x+x+1的特解

求微分方程 y"-y'＝(xe^x)+x+1的特解
解：齐次方程 y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根：r₁=0，r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=c₁+c₂e^x ;
设方程y''-y'=xe^x的特解：y*₁=(ax²+bx)e^x；
y*₁'=(2ax+b)e^x+(ax²+bx)e^x=[ax²+(2a+b)x+b]e^x;
y*₁''=(2ax+2a+b)e^x+[ax²+(2a+b)x+b]e^x=[ax²+(4a+b)x+2a+2b]e^x;
故有 [ax²+(4a+b)x+2a+2b]-[ax²+(2a+b)x+b]=x
化简得：2ax+2a+b=x；故a=1/2；b=-1；∴y*₁=[(1/2)x²-x]e^x;
再设方程y''-y'=x+1的特解：y*₂=cx²+dx；y*₂'=2cx+d，y*₂''=2c;
故有 2c-(2cx+d)=-2cx+2c-d=x+1, ∴c=-1/2；2c-d=-1-d=1, 故d=-2;
于是得y*₂=-(1/2)x²-2x;
∴原方程的特解为：y*=y*₁+y*₂=[(1/2)x²-x]e^x-(1/2)x²-2x;
通解为：y=c₁+c₂e^x+[(1/2)x²-x]e^x-(1/2)x²-2x；

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