对于函数f(x)=ax+1x?1(其中a为实数,x≠1),给出下列命题:①当a=1时,f(x)在定义域上为单调增函数

2024-11-29 12:49:57
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①当a=1时,f(x)=

x+1
x?1
=1+
2
x?1
,是由y=
2
x
向右,向上平移一个单位得到的,不是单调函数,不正确.
②f(x)=
ax+1
x?1
=a+
1+a
x?1
,其图象关于(1,a)对称,正确.
③由②知对称点的横坐标是1,不可能是0,所以不可能是奇函数,正确.
④当a=-1时,f(x)=
?x+1
x?1
=?1(x≠1)
,定义域不关于原点对称,所以不可能为偶函数,不正确.
⑤当a=2时,f(x)=
2x+1
x?1
=2+
3
x?1
,在(1,+∞)上是减函数,则在(2,+∞)上也是减函数
∴对于满足条件2<x1<x2的所有x1,x2总有f(x1)-f(x2)<3(x2-x1).
故答案为:②③⑤