极限函数lim（1+X^2)^1⼀3-1等价于1⼀3X^2是怎么来的

lim(x→1)[x^(1/3)-1]/(x-1)恰是f(x)=x^(1/3)在x=1处的导函数f'(x)=1/[3x^(2/3)]

所以lim(x→1)[x^(1/3)-1]/(x-1)=f'(1)=1/3

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

扩展资料

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

方法一：lim(x→1)[x^(1/3)-1]/(x-1)恰是f(x)=x^(1/3)在x=1处的导函数f'(x)=1/[3x^(2/3)]所以lim(x→1)[x^(1/3)-1]/(x-1)=f'(1)=1/3方法二：因为是0/0形式，用罗比塔法则lim(x→1)[x^(1/3)-1]/(x-1)=lim(x→1)[1/3x^(2/3)]/1=1/3方法三：x^(1/3)=(x-1+1)^(1/3)利用级数x^(1/3)-1=(x-1)/3-(x-1)^2/9+……所以lim(x→1)[x^(1/3)-1]/(x-1)=lim(x→1)[1/3-(x-1)/9+……]=1/3

(1+x)^(1/n)-1~1/n*x(x->0) 高等数学第七版P54页，有推导过程，提示：二次多项式公式展开，夹逼准则求解

（1+a）^b-1,当a趋于0时，原式=a*b