第二宇宙速度和第三宇宙速度是如何推导出来的

1、第二宇宙速度

一个质量为m的物体具有速度v，则它具有的动能为mv^2/2。假设无穷远地方的引力势能为零（应为物体距离地球无穷远时，物体受到的引力势能为零，所以这个假设是合理的）。

则距离地球距离为r的物体的势能为-mar(a为该点物体的重力加速度，负号表示物体的势能比无穷远点的势能小）。又因为地球对物体的引力可视为物体的重量，所以有

GmM/r2=ma

即a=（GM）/r2.

所以物体的势能又可写为-GmM/r，其中M为地球质量。设物体在地面的速度为V，地球半径为R，则根据能量守恒定律可知，在地球表面物体动能与势能之和等于在r处的动能与势能之和，即

mV2/2+（-GMm/R）=mv2/2+（-GmM/r)。

当物体摆脱地球引力时，r可看作无穷大，引力势能为零，则上式变为

mV2/2-GmM/R=mv2/2.

显然，当v等于零时，所需的脱离速度V最小，即

V=2GM/R开根号，

又因为

GMm/R2=mg,

所以

V=2gR开根号，

另外，由上式可见脱离速度（第二宇宙速度）恰好等于第一宇宙速度的根号2倍。

2、第三宇宙速度

 第三宇宙速度是指，如果卫星进一步挣脱太阳引力的束缚，达到一定的速度（能量）就能变成绕银河系运行运行的人造卫星。简单说挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间去，必须具有的最小发射速度叫做第三宇宙速度。

地球以约30 km/s的速度绕太阳运动，地球上的物体也随着地球以这个速度绕太阳运动。正像物体挣脱地球引力所需的最小速度等于它绕地球运行速度的√2倍一样，卫星脱离太阳引力的束缚所需的速度应等于它绕太阳运动的速度√2倍。

这就是说该卫星在地表的发射速度至少就该是42.4Km/s速度，由于地球本身绕太阳运行的速度约30 km/s，所以只要使它沿地球运动轨道方向增加12.4 km/s的速度所具有的动能就行，但要卫星在挣脱地球引力束缚的过程中还要需要一部分能量。

因此卫星初动能应该就该是所要增加12.4km/s速度所具有的动能再加上脱离地球引力做功的能量（第二宇宙速度所对应的动能）。

所以卫星的第三宇宙速度对应的动能就应该等于增加的12.4km/s速度所具有的动能再加上脱离地球引力做功的能量（第二宇宙速度所对应的动能）。如果用V3表示第三宇宙速度，则V3=√（12.4）2+（11.2）2=16.7km/s。

扩展资料

当发射速度V与宇宙速度分别有如下关系是，被发射物体的情况将有所不同：

第一种情况，当v

第二种情况，当v1≤v

第三种情况，当v2≤v

第四种情况，当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

由此可见，三个宇宙速度均是发射卫星过程中的不同临界状态。

参考资料来源：百度百科-三大宇宙速度

（1）第二宇宙速度的推导：

根据动能公式,一个质量为m,速度为v的物体的动能E1为
E1=0.5mv^2
根据重力势能公式,当这个物体距行星中心距离约等于行星半径r,重力加速度为g时,它的重力势能E2为：
E2=mgr
而mg=GMm/r^2
可得出:E2=GMm/r
当E1-E2=0时,飞行器恰好克服行星引力逃逸,可得出：
0.5mv^2-GMm/r=0
v^2=2GM/r
v=√(2GM/r) ------------------->这就是著名的第二宇宙速度。
其中,G为万有引力常量,M为行星质量。把M代为地球质量,可得v=11.2km/s

（2）第三宇宙速度的推导：
　第三宇宙速度V3=16.7km/s.推导方法如下：
第三宇宙速度
以离太阳表面无穷远处为0势能参考面,则有
　　先不考虑地球引力
　　1/2mv（人造天体对太阳）^2+(-GMm/R)=0
　　m为人造天体的质量,R为平均日地距离,M为太阳质量
　　v=√（2GM/R）=42.2km/s
　　∵v地绕太阳=29.8km/s
　　∴v’=42.2-29.8=12.4km/s
　　设R'为地球半径,M'为地球质量
　　又∵发射时必须克服地球引力做功
　　∴1/2mv^2-GM'm/R'=1/2mv’^2
　　∵GM'm/R'=1/2mv(宇宙第二速度)^2
　　1/2*m*v^2-1/2*mv(宇宙第二速度）^2=1/2*mv’^2
　　v=16.7km/s

1. (一)第二宇宙速度的推导

第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星,或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度,也叫脱离速度．

设物体的质量为m,由地面克服地球引力飞至无穷远处,需做多少功呢?

如图所示,地面a处离地心为R0,即Oa＝R0,Ob＝R1,Oc＝R2…O∞＝R∞

物体在a处受引力F0＝G ；b处受引力F1＝G ；…

物体由a移到b,需克服引力做功W1＝ 01(ab)．由于F0到F1中力是变化的,为此采取近似方法：

01＝G 

这样由于 ,故F0＞ 01＞F1

所以W1＝G 

即W1＝GMm( )(物体由a→b)

同理 W2＝GMm( )(物体由b→c)

W3＝GMm( )(物体由c→d)

…

W∞＝GMm( )

物体由a移到无限远处时,共需做功

W＝W1＋W2＋…＝GMm( )＝GMm/R0．式中 ＝0

故物体在地面上需要具有动能 mv22＝GMm/R0

所以,第二宇宙速度v2＝ ＝11.2 km/s(式中G为引力常量,M为地球的质量,R0为地球半径)

(二)第三宇宙速度的推导

物体要进一步挣脱太阳的引力束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间去所必须具有的最小速度,叫第三宇宙速度,也叫逃逸速度．

根据推导第二宇宙速度的同样道理可知,物体为了挣脱太阳的引力飞出太阳系,必须具有速度v′＝ ,式中M日＝2×1030 kg,R日地＝1.49×1011 m

所以v′＝42.2 km/s

物体是由地面出发的,地球围绕太阳公转的线速度v线＝29.8 km/s,如果物体顺着地球运动的轨道切向飞出的话,便可借助于地球的公转线速度,因而只需Δv＝v′－v线＝42.2-29.8＝12.4 km/s就行了．但是,物体要飞出太阳系,要克服太阳的引力,首先要挣脱地球引力的束缚才行．故物体在地面上应该具有的动能为 mv32＝ mv22＋ m(Δv)2

故v3＝ ＝ km/s＝16.7 km/s

三个宇宙速度分别是什么