由题设，知Q(x，y)＝
，P(x，y)＝x
x2+y2
，且当（x，y）≠（0，0）时，?y
x2+y2
＝?Q ?x
＝
x2+y2?x?2x (x2+y2)2
＝
y2?x2
(x2+y2)2
．?P ?y
（1）由于圆周（x-1）2+（y-1）2=1不包含（0，0），因此
直接由格林公式，得
∮
＝0xdy?ydx
x2+y2
（2）由于（0，0）∈L所围成的区域，因此，
选取适当小的r＞0，作位于D内的圆周l：x2+y2=r2，取反时针方向．
设L和l所围成的区域为D，对复连通区域D应用格林公式，得
∮
?xdy?ydx
x2+y2
∮
=0xdy?ydx
x2+y2
于是，
∮
=xdy?ydx
x2+y2
∮
=xdy?ydx
x2+y2
1 r2
(r2cos2θ+r
∫
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