什么是奇延拓、偶延拓？

1、奇延拓：函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；

2、偶延拓：如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。

扩展资料

函数的延拓：设E与F为两个集合，P为E的子集，而f为从P到F中的映射. 任一从E到F中的映射，如果它在P上的限制为f，则称该映射为f在E上的延拓。

解的延拓：不能继续延拓的解称为饱和解，饱和解的存在区间称为解的最大存在区间。

在实际应用中，有时还需要把定义在区间[0,π]的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数. 这个问题可按如下方法解决。

设函数f(x)定义在区间[0,π]上且满足狄利克雷收敛定理的条件. 我们先要把函数f(x)的定义延拓到区间(-π,0]上，得到定义在(-π,π]上的函数F(x)。

参考资料：奇偶延拓_百度百科

1、奇延拓：函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；

2、偶延拓：如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。

奇延拓的函数：F(x)=f(x) (当0<=x<=a)，F(x)= -f(-x) (当-a<=x<0)；

偶延拓的函数：G(x)=f(x) (当0<=x<=a)，G(x)= f(-x) (当-a<=x<0)。

例1 将函数f(x)=cos(x) (当0<=x

解

奇延拓：F(x)=f(x) (当0<=x<=Pi)，F(x)= -f(-x) (当-Pi<=x<0)；

偶延拓：G(x)=f(x) (当0<=x<=Pi)，G(x)= f(-x) (当-Pi<=x<0)。

图形如下：

f(x)的图形：

奇延拓的图形：

偶延拓的图形：

1、奇延拓：函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；
2、偶延拓：如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。
奇延拓的函数：F(x)=f(x)
(当0<=x<=a)，F(x)=
-f(-x)
(当-a<=x<0)；
偶延拓的函数：G(x)=f(x)
(当0<=x<=a)，G(x)=
f(-x)
(当-a<=x<0)。
例1
将函数f(x)=cos(x)
(当0<=x(当Pi/2<=x<=Pi)
分别延拓成区间[-Pi,
Pi]上的奇函数和偶函数。
解
奇延拓：F(x)=f(x)
(当0<=x<=Pi)，F(x)=
-f(-x)
(当-Pi<=x<0)；
偶延拓：G(x)=f(x)
(当0<=x<=Pi)，G(x)=
f(-x)
(当-Pi<=x<0)。
图形如下：
f(x)的图形：
奇延拓的图形：
偶延拓的图形：

函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。根据以上讨论，拓广后的函数的傅里叶展开式是正弦或余弦级数，限制x在f（x）原定义区间上即得函数f（x）在[0，π]或[-π，0]上的正弦或余弦级数。

在实际应用中，有时还需要把定义在区间[0,π]的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数. 这个问题可按如下方法解决。

设函数f(x)定义在区间[0,π]上且满足狄利克雷收敛定理的条件. 我们先要把函数f(x)的定义延拓到区间(-π,0]上，得到定义在(-π,π]上的函数F(x)，根据实际的需要，常采用以下两种延拓方式：

1.奇延拓  令F(x)={cf(x),&0，则F(x)是定义在(-π,π]上的奇函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的正弦级数展开式。

2.偶延拓  令F(x)={cf(x),&0≤x≤π&f(-x),&-π，则F(x)是定义在(-π,π]上的偶函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数. 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的余弦级数展开式。