设
y'=z(y)，
则
y''=dz(y)/dx=[dz(y)/dy](dy/dx)=zdz/dy,
原方程化为
yzdz/dy=1+z^2,
zdz/(1+z^2)=dy/y,
d(1+z^2)/(1+z^2)=2dy/y,
ln(1+z^2)=ln(y^2)+lnD
1+z^2=Dy^2,
初始条件:
x=1
时，
y=1，
y'=z=0
，
故得
D=1
1+z^2=y^2,
z=±√(y^2-1),
即
dy/dx=±√(y^2-1)
dy/√(y^2-1)=±dx,
得
∫dy/√(y^2-1)=ln[y+√(y^2-1)]-lnC=±x
y+√(y^2-1)=Ce^(±x),
取
+
号时
C=1/e，
取
-
号时
C=e，
得特解是
y+√(y^2-1)=e^(x-1),
或
y+√(y^2-1)=e^(1-x)。
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