求函数y=2-4⼀3sinx–cosx的最大值和最小值

2025-03-07 08:34:46

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回答1：

y=2-[4/(3sinx-cosx)]
=2-4/[√10sin(x-φ)]
(其中，tanφ=1/3)
∴sin(x-φ)=-1时，
y|max=2+(4/√10)=(10+2√10)/5。

回答2：

　　y=2-(4/3)sinx–cosx (x∈R)

　　 y=2-((3/4)sinx+cosx)

　　分析之，括号内的部分不能使用特殊角解决，所以利用辅助角公式，引入角度φ。

　　可以得到：

　　y=2-√((3/4)²+1²)sin(x+φ) (tanφ=sinφ/cosφ=4/3)

　　y=2-(5/4)sin(x+φ)

　　当x+φ=2kπ+3π/2时(k∈Z)，即x=2kπ+3π/2-φ时，最大值ymax=2+5/4=13/4。

　　当x+φ=2kπ+π/2时(k∈Z)，即x=2kπ+π/2-φ时，最小值ymin=2-5/4=3/4。