拓补学的拓补问题

拓扑问题的一些初等例子（右图上下左右对折以后就是一个轮胎形状，有7个区域两两相连。国外数学家给出）
柯尼斯堡的七桥问题（一笔画问题）　柯尼斯堡是东普鲁士首府，普莱格尔河横贯其中，上有七座桥（见图论）。一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次？这个18世纪的智力游戏，被L.欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔画出的问题，然后他证明这是根本办不到的。一个网络之能否一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。欧拉的多面体公式与曲面的分类　欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数 E、面数F之间总有:V-E+F=2这个关系。从这个公式可以证明正多面体只有五种（见正多面体）。值得注意的是，如果多面体不是凸的而呈框形（图1凸形与框形）,也不管框的形状如何，总有□。这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗的说法是框形里有个洞。　连续变形下，凸体的表面可以变为球面，框的表面可以变为环面（轮胎面）。这两者却不能通过连续变形互变。在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？怎样鉴别它们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。把曲面变形成多面体后的欧拉数□-□+□在其中起着关键的作用（见闭曲面的分类）。四色问题　在平面或球面上绘制地图，有公共边界线的区域用不同的颜色加以区别。19世纪中期，人们从经验猜想用四种颜色就足以给所有的地图上色。证明这个猜想的尝试，却延续了100多年,到1976年才出现了一个借助于计算机的证明。如果不是在平面上而是在轮胎面上画地图，四色就不够了，要七色才够。用橡皮做一个曲面模型，然后随意扭曲，弄得山峦起伏，这对其上的地图着色毫无影响，所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。右图是一个有2个洞的曲面，需要8种颜色（8个区域两两相连，王晓明王蕊珂用了9年给出）。