求过点（2，2）的曲线方程，该曲线上任意点法线方程与原点的距离等于该任意点纵坐标的绝对值

设(x,y)为所求曲线y=f(x)上一点，则该点法线的斜率为-1/y'，所以法线方程为Y-y=(-1/y')(X-x)，其中(X,Y)表示法线上的任一点，化简得X+y'Y-x-yy'=0。根据点到直线的距离公式，可知原点(0,0)到法线的距离为|x+yy'|/√(1+y'^2)，根据题意，有|x+yy'|/√(1+y'^2)=|y|，两边平方化简后得y^2-x^2=2xyy'，即dy/dx=(y^2-x^2)/2xy。这是齐次微分方程，变形有dy/dx=[(y/x)^2-1]/2(y/x)，令u=y/x，则y=ux，dy/dx=u+xdu/dx，代人方程中有u+xdu/dx=(u^2-1)/2u，分离变量得2udu/(u^2+1)=-dx/x，两边积分得ln(u^2+1)=ln(C/x)，即y^2/x^2+1=C/x，将x=y=2代人有C/2=2，C=4，因此说清曲线方程为x^2+y^2=4x。

设曲线方程是y=f(x),
在点(m,f(m))的切线斜率=f'(m),
法线l方程是y-f(m)=[-1/f'(m)](x-m),即x+yf'(m)-m-f(m)f'(m)=0,
原点到l的距离|m+f(m)f'(m)|/√{1+[f'(m)]^2}=|f(m)|,
平方得m^2+2mf(m)f'(m)+[f(m)f'(m)]^2=[f(m)]^2+[f(m)f'(m)]^2,
化简得m^2+2mf(m)f'(m)-[f(m)]^2=0,
换成微分方程：x^2+2xyy'-y^2=0,①
由2xy'=y得dy/y=dx/(2x),y=c√x,
设y=c(x)*√x,则y'=c'(x)*√x+c(x)/(2√x),
代入①得x^2+c(x)*√x[2x√x*c'(x)]=0,
约去x^2,得1+2c(x)*c'(x)=0,
积分得[c(x)]^2+x=c,
取c(x)=√(c-x),
∴y=√[x(c-x)],
x=2时y=2,
∴2=√[2(c-2)],解得c=4,
∴所求曲线方程是y=√[x(4-x)].