椭圆Ex^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1 (a>b>0)的左右焦点

椭圆E：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆E上任一点P，满足向量PF1•向量PF2≥0.5a²。过F1作垂直与椭圆长轴的弦长为3，求椭圆E的方程。若过F1的直线交椭圆于A、B两点，求向量F2A•向量F2B的范围
解：1、设P点的坐标为(xo，yo)，则
向量PF1= (-c-xo，-yo)，向量PF2= (c-xo，-yo)
所以向量PF1•向量PF2= (-c-xo，-yo)(c-xo，-yo)=xo²-c²+yo²
因为点P(xo，yo)在椭圆上，所以xo²/a²+yo²/b²=1，变形得yo²=(1-xo²/a²)b²，代入上式得
向量PF1•向量PF2=xo²-c²+(1-xo²/a²)b²=(c²/a²)xo²+b²-c²≥b²-c²
依题意有b²-c²=0.5a²，变形得b²-(a²-b²)=0.5a²，即
4b²=3a² …………①
对椭圆方程，令x=-c，解得y=±b²/a，依题意，过F1作垂直与椭圆长轴的弦长为3，所以
2b²/a=3 …………②
①②联立解得a=2，b=√3
所以椭圆的方程为x²/4+y²/3=1
2、设A(x1，y1)，B(x1，y1)，当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，k∈(-∞,+ ∞)。容易算得c=1，所以F1 (-1，0)，F2 (1，0)
则向量F2A= (x1-1，y1)，向量F2B= (x2-1，y2)
所以向量F2A•向量F2B= (x1-1，y1)，向量F2B= (x2-1，y2)
由点斜式可写出AB的直线方程为
y=k(x+1)
将其与椭圆方程联立消y得
(4k²+3)x²+8k²x+(4k²-12)=0
由韦达定理有
x1+x2= -8k²/(4k²+3)
x1x2=(4k²-12)/(4k²+3)
进而y1y2= k(x1+1)*k(x2+1)=k²[x1x2+(x1+x2)+1]
所以向量F2A•向量F2B
=(x1-1，y1)(x2-1，y2)
= (x1-1)(x2-1)+y1y2
= (x1-1)(x2-1)+ k²[x1x2+(x1+x2)+1]
=(k²+1)(1+x1x2)+(k²-1)(x1+x2)
=(k²+1)[1+(4k²-12)/(4k²+3)]+(k²-1)[-8k²/(4k²+3)]
=(7k²-9)/(4k²+3)
=(7/4)-[57/(16k²+12)]
因为k²≥0，所以可算出所以-3≤向量F2A•向量F2B<7/4

当斜率不存在时，直线AB垂直于x轴，可直接求出A(-1，3/2)，B(-1，-3/2)，进而求得
向量F2A•向量F2B=7/4
综上所述，-3≤向量F2A•向量F2B≤7/4