13问答网 > 设函数f(x)=ax-(a+1)lnx,其中a≥ -1 ,求f(x)的单调区间。

设函数f(x)=ax-(a+1)lnx,其中a≥ -1 ,求f(x)的单调区间。

我不是很聪明的人，请大家多多帮忙，谢谢！

2025-03-04 09:29:29

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回答1：

首先x>0
f'(x)=a-(a+1)/x
令f'(x)=0得x=(a+1)/a 由x>0 a>=-1知
a>0时能取到x=(a+1)/a满足f'(x)=0
当0 当x>(a+1)/a时，恒有f'(x)>0，故在此区间函数递增
-1<=a<0时 (a+1)/a<0 无x满足f'(x)=0，此时对任意的x，恒有f'(x)<0函数在定义域x>0上单调递减。 [因为a<0 a+1>0 x>0,则f'(x)=a-(a+1)/x<0]

回答2：

定义域X>0,
a=0时，f(x)=-lnX,求导 f'(x)=-1/x<0,f(x)在定义域内递减
求导 f'(x)=a-(a+1)/x=0时 x=(a+1)/a=1+1/a,
a>0时，
x>1+1/a时，f'(x)>0，f(x)递增
0-1≤a<0时,f'(X)=0时有x<0, 而X>0 故f'(x)<0 f(x)在定义域内递减

综合以上情况有
-1≤a≤0时，f(x)在定义域内即x∈(0，+∞)，递减
a>0时
x∈(0，1+1/a]， f(x)递减
x∈(1+1/a，+∞)，f(x)递增