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求极限：lim{[x^(1⼀3)-a^(1⼀3)]⼀(x-a)^(1⼀3)}

求极限：lim{[x^(1/3)-a^(1/3)]/(x-a)^(1/3)}, x趋近于a

2025-01-07 07:17:54

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回答1：

原式=lim(x→a)⁡[x^(1/3) -a^(1/3）]/(x-a)^1/3=lim（x-a）/{[x^2/3+（ax）^1/3+a^2/3）](x-a)^1/3}=lim（x-a）^2/3/[x^2/3+(ax)^1/3+a^2/3] (x→a)。所以原式=0.
令解：由于分子分母在x趋近于a时都趋于0，是0/0未定型，用洛比达法则对分子分母分别求导然后易得原式等于0。

回答2：

这是一个0/0的极限，可用洛比塔法则求解。
lim{[x^(1/3)-a^(1/3)]/(x-a)^(1/3)的分子分母同时求导，得
lim{x^(-2/3)/(x-a)^(-2/3)}=lim{(x-a)^(2/3)/x^(2/3)}=0