13问答网 > 如图,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,BA1⊥AC1.

如图,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,BA1⊥AC1.

求证1:AC1⊥平面A1BC 2求二面角A-A1B-C的正切值.

2025-04-25 08:10:18

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回答1：

（1）A1D⊥面ABC
所以A1D⊥BC
又BC⊥AC
AC∩A1D=D
所以BC⊥面A1ACC1
所以：BC⊥AC1，
又A1B⊥AC1，A1B∩BC＝B
所以AC1⊥面A1BC

（2）所以AC1⊥A1C
所以ACC1A1是菱形
因为D是AC中点，所以三角形AA1C是等边三角形，

设A1C∩AC1=O，则AO=√3
做AH⊥A1B，连结OH
A1B⊥AH，AC1⊥A1B
A1B⊥面AC1H
OH在面AC1H内
所以A1B⊥OH
所以∠OHA为二面角A-A1B-C平面角
∠HOA＝90度

A1C＝BC＝2，∠A1CB＝90度，所以A1B=2√2
因为∠A1HO＝90度，
可求得OH=√2/2
tan∠OHA＝AO/OH=√3/(√2/2)=√6