13问答网 > 设A为m*n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，证明：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

设A为m*n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，证明：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

2025-04-03 05:38:12

推荐回答（2个）

回答1：

教科书中应该有这样的两个结论:
1. 初等变换不改变矩阵的秩
2. 可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积

由P,Q可逆, 所以它们可以表示成初等矩阵的乘积
所以 PA 相当于对A做若干初等行变换, 它的秩不变, 即仍是A的秩
同样 AQ 相当于对A做若干初等列变换, 它的秩不变, 即仍是A的秩
PAQ相当于对A做若干初等变换, 它的秩不变, 即仍是A的秩

回答2：

证明：因为r(ab)<=r(b)
由于p是可逆矩阵因此r(p-1a)<=r(a)
两边同时左乘p的逆得到
r(a)<=r(pa）<=r（a）
两式联立得到r(pa)=r(a)
有r(paq-1)<=r(pa)
两边同时右乘以可逆矩阵q
得到r(pa)<=r(paq)<=r(pa)
得到r(pa)=r(paq)
同理r(AQ)=r(A)
通俗的说就是：无论两边同时左还是右乘以多少个可逆矩阵得到的矩阵的秩不变。