（Ⅰ）∵A不可逆
∴A的特征值必有一个为0
设属于0的特征向量为α3＝(b，c，d)T
则α1、α2、α3是正交的
∴
?2a＝0 b?2c+d＝0 ?b+ac+d＝0
解得：a=0和满足条件的一个α3＝(1，1，1)T
∴存在可逆矩阵P＝
，使得P?1AP＝∧＝
1
?1
1
?2
0
1
1
1
1
1
?1
0
∴A=P∧P-1
又容易求出P?1＝?
1 6
?1
2
?1
3
0
?3
?2
?2
?2
∴A＝?
1 3
1
1
?2
1
?2
1
?2
1
1
（Ⅱ） 由（I），得
A2009β=P∧2009P-1β=P∧P-1β=Aβ=
0 0 0
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