已知函数f(x)=me^x-lnx-1。当m≥1时，证明：f(x)>1
证明:
f(x)=me^x-lnx-1
定义域：(0，+∞)
f'(x)
=(me^x-lnx-1)'
=me^x-1/x
假设f'(x)=0的根是x0，
me^x0=1/x0..........①
下面用反证法证明：x0<1
假设x0>1，则1/x0=me^x0>1
∴x0<1，与假设矛盾
假设x0=1，则me=1，这与m≥1矛盾
∴0
∵x>0，m≥1
∴f''(x)=me^x+1/x²>0
∴f'(x)在(0，+∞)上单调递增
∴
0
∴f(x)在x=x0处取得最小值f(x0)
f(x0)
=me^x0-lnx0-1
=1/x0-lnx0-1(将①式代入)
由①式得，m=1/(x0e^x0)
∵m≥1
∴x0e^x0≤1
∴ ln(x0e^x0)≤ln1
∴lnx0+x0≤0
∴-lnx0-x0≥0
∴-lnx0≥x0
∴
f(x0)
=1/x0-lnx0-1
≥1/x0+x0-1
>2√[(1/x0)*x0]-1(均值不等式)
=2-1
=1
综上，
f(x)≥f(x0)>1
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