13问答网 > 已知y=f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+1．（1

已知y=f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+1．（1

2025-03-07 00:59:06

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回答1：

（1）∵y=f（x）是定义在R上的函数，f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+2（-x）+1]=x²+2x-1，
∵f（0）=0，
∴f（x）=

?x2+2x+1(x≥0)

0 (x＝0)

x2+2x?1 (x＜0)

．
（2）作图如下：

由图知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数，f（x）在[-1，1]上是增函数．
（3）由图知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
只需

a?2＞?1

a?2≤1

，解得1＜a≤3．