13问答网 > 已知正项数列{a n }，其前n项和S n 满足10S n =a n 2 +5a n +6且a 1 ，a 3 ，a 15 成等比数列．（1）求

已知正项数列{a n }，其前n项和S n 满足10S n =a n 2 +5a n +6且a 1 ，a 3 ，a 15 成等比数列．（1）求

2025-04-27 22:22:15

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回答1：

（1）∵10S_n =a_n ² +5a_n +6，①∴10a₁ =a₁ ² +5a₁ +6，解之得a₁ =2或a₁ =3．
又10S_n-1 =a_n-1 ² +5a_n-1 +6（n≥2），②
由①-②得 10a_n =（a_n ² -a_n-1 ² ）+5（a_n -a_n-1 ），即（a_n +a_n-1 ）（a_n -a_n-1 -5）=0
∵a_n +a_n-1 ＞0，∴a_n -a_n-1 =5 （n≥2）．
当a₁ =3时，a₃ =13，a₁₅ =73．a₁ ，a₃ ，a₁₅ 不成等比数列∴a₁ ≠3；
当a₁ =2时，a₃ =12，a₁₅ =72，有 a₃ ² =a₁ a₁₅ ，∴a₁ =2，∴a_n =5n-3．
（2）∵b_n =20-a_n =23-5n
所以T_n =

n(18+23-5n)

n(41-5n)

-5

(n-

) 2 +

1681

当n=4时，T_n 取得最大值42．