设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1

（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
设x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=ax2-

1

ax2

-（ax1?

1

ax1

）=（ax2?ax1）（1+

1

ax2ax1

），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴ax2＞ax1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上为增函数，∴t∈[

3

2

，

15

4

]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
当t=

15

4

时，g（x）有最大值

17

16

，当t=2时，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，

17

16

]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）?（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假设存在满足条件的正整数λ，则（4^x+4^-x）?（4^x-4^-x）≥λ?（4^x-4^-x），
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈(0，

1

2

]时，4^x-4^-x＞0，则λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，则μ∈（1，2]，易证z=μ+

1

μ

在（1，2]上是增函数，
则λ≤z（1）=2；
③当x∈[?

1

2

，0)时，4^x-4^-x＜0，则λ≥4x+

1