如图,已知M(m,m^2),N(n,n^2)是抛物线C:y=x^2上两个不同点,且m^2+n^2=1 ,m+n≠0，L是MN的垂直平分线。

1.直线MN的斜率为m+n≠0，所以直线L的斜率k为-1/(m+n)，由不等式(m+n)^2≤2(m^2+n^2)=2知-√2≤m+n≤√2。所以L的斜率k的取值范围为k≤-√2/2或k≥√2/2。
2.又知M,N的中点为((m+n)/2,1/2)，所以直线L的方程可写为x+(m+n)y-(m+n)=0。
与抛物线C联立，得x^2+x/(m+n)-1=0，所以x1+x2=-1/(m+n),x1x2=-1,y1+y2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=2+1/(m+n)^2，所以R的坐标为(-1/[2(m+n)],1+1/[2(m+n)^2])。
与椭圆E联立，得[a+2/(m+n)^2]x^2-4/(m+n)+2-2a=0和[a(m+n)^2+2]y^2-[2a(m+n)^2]y+a(m+n)^2-2a=0，所以x3+x4=4(m+n)/[a(m+n)^2+2],y3+y4=2a(m+n)^2/[a(m+n)^2+2]，所以S的坐标为(2(m+n)/[a(m+n)^2+2,a(m+n)^2/[a(m+n)^2+2])。
根据关系OR·OS=0，得a=2/[2(m+n)^2+1]的取值范围为[2/5,2)。
则E的离心率e的平方为2/(2+a)，取值范围为(1/2,5/6]。
最终，E的离心率e的取值范围为(√2/2,√30/6]