线性代数：矩阵多项式问题.

2025-04-27 20:29:35

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回答1：

似乎不行
n阶方阵构成的线性空间是n^2 维的,
若有这样的A, 则 E,A,A^2,...,A^(n^2-1) 必线性无关,才能保证所有n阶方阵可由它们线性表示.
但A的特征多项式就是A的零化多项式, 即E,A,A^2,...,A^n 线性相关.

回答2：

显然不存在。
假定存在这样的矩阵A，对任何矩阵B都存在多项式p使得B=p(A)，则AB=BA，然而与所有矩阵都可交换的矩阵是纯量阵，即A=cI，于是A只能用来生成纯量阵，矛盾。