13问答网 > 已知f(x)=log2 1+X⼀1-x,(x∈（-1,1）。判断函数奇偶性，并证明；判断它在（-1，1）上的单调性，证明

已知f(x)=log2 1+X⼀1-x,(x∈（-1,1）。判断函数奇偶性，并证明；判断它在（-1，1）上的单调性，证明

2025-03-03 06:47:28

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回答1：

f(x)=log2 (1+x)/(1-x)
f(-x)=log2 (1-x)/(1+x)=-log2 (1+x)/(1-x)=-f(x)
f(x)是奇函数
设-1f(x1)-f(x2)=log2 (1+x1)/(1-x1)-log2 (1+x2)/(1-x2)
=log2 (1+x1)(1-x2)/(1-x1)(1+x2)
=log2 (1+x1-x2-x1x2)/(1-x1+x2-x1x2)
因为x1-x2<0，所以0<分子<分母，(1+x1-x2-x1x2)/(1-x1+x2-x1x2)<1
所以f(x1)-f(x2)<0
f(x)在（-1,1）上单调递增