强度理论在材料力学中的应用

长期以来，随着生产和实践的发展，大量工程构件强度失效的实例和材料失效的实验结果表明：虽然复杂应力状态各式各样，但是材料在复杂应力状态下的强度失效的形式却是共同的，而且是有限的．无论应力状态多么复杂，材料在常温﹑静载作用下的主要发生两种强度失效形式：一种是断裂，另一种是屈服。
两种强度失效形式
(1)屈 服（流动）： 材料破坏前发生显著的塑性变形，破断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
(2)断 裂 材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
　　根据材料在不同应力状态下强度失效共同原因的假说，利用单向拉伸的实验结果，建立
复杂应力状态下的强度条件，这就是强度理论。
1、选用强度理论时要注意：破坏原因与破坏形式的一致性，理论计算与试验结果要接近，一般
第一、第二强度理论，适用于脆性材料（拉断）
第三、第四强度理论，适用于塑性材料（屈服、剪断）
2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、温度有关.同一种材料在不同情况下，破坏形式不同,强度理论也应不同.
3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力学中的脆性断裂准则进行计算。

(一)为什么需要强度理论？强度理论的概念
1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立
[拉、压] （单向）

图10-1
强度条件：
， 由试验得
[扭转]（双向）

图10-2
强度条件：
， 由试验得

[弯曲]（二向）
强度条件（上下边缘点）：

中性层处： （ 、 由试验得）
为什么可以这样来建立强度条件？
因为：
⑴构件内的应力状态比较简单；
⑵用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现。
2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？
复杂应力状态单元体

图10-3
它的强度条件是：
σx≤[σ]、σy≤[σ] 吗？
τx≤[τ]、τy≤[τ]
不是！
实践证明：
⑴强度与σ、τ均有关，相互影响
例：

易剪断 不易剪断
就象推动某物一样：

易动 不易动 图10-4
⑵强度与σx、σy、σz (σ1、σ2、σ3)间的比例有关

图10-5
σ1=σ2=0 σ1=σ2=σ3
单向压缩，极易破坏 三向均有受压，极难破坏

那么，复杂应力状态下的强度条件怎样建立？
模拟实际受力情况，通过实验来建立？
不行！！
因为 σx
σy 有无穷的比例关系，实验无穷无尽，不可能完成。
σz
怎么办？
长期以来，随着生产和实践的发展，人们在大量观察和研究了各种类型的材料在不同受力条件下的破坏情况，根据对材料破坏现象的分析，提出了各种各样的假说，认为材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，并通过简单的试验来推测材料在复杂应力状态下的强度，分析其极限条件，从而建立强度条件。
3、强度理论的概念
何谓强度理论？
假说材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，这种假说就称为强度理论。

(二)四个强度理论
第一强度理论——最大拉应力理论
假说：决定材料产生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应力σ1
即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的三个主应力中的最大拉应力σ1到达材料的极限值 时，材料就会发生脆断破坏。
破坏条件： σ1=σb+
材料在拉伸试验中发生脆断的极限应力
强度条件： σ1≤[σ]= ───────────（A）
评价：
1、只考虑三个主应务中的σ1，而没有考虑较小的σ2、σ3；
2、无法解释下列现象：
⑴塑性材料： 简单拉伸时，材料在屈服阶段沿着45°斜面发生滑移，而并不从最大拉应力σ1所在的横截面上拉断。
⑵脆性材料： 简单压缩时

图10-6
⑶三向均匀受压：σ1=σ2=σ3 材料极不容易破坏，甚至超过极限应力几倍、十几倍也不破坏（如海底岩石）
3、此理论只对少数脆性材料受简单拉伸的情况才是正确的（铸铁拉伸）
因此更名：最大拉应力理论
（最大正应力理论——该理论在十七世纪由伽利略提出，距今已有三百多年历史，最早提出：第一.

第二强度理论——最大拉应变理论
假说: 决定材料发生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应变ε1
即: 不论在怎么复杂的应力状态下，只要构件内一点处的最大拉应变 ε1达到了材料的极限值ε°，材料就会发生断裂破坏。
破坏条件：ε1=ε°= ──脆断破坏时极限应力
为统一起见，将此条件改用σ来表示，根据虎克定律：
μ ── 将此式代入上式
得： μ
强度条件： μ ─────────────（B）
评价：
1、此理论与脆性材料简单拉伸试验结果相结合，也可解释脆性材料的压缩破坏。
据此理论可解释：

图10-7
2、根据此理论，二向、三向受拉应力状态比单向应力状态更安全，更容易承载，但这个结论被实验结果所否定。

图10-8
更安全吗？否!
3、三向均匀受压不易破坏这一现象，第二强度理论也无法解释。

第三强度理论——最大剪应力理论
假说：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的最大剪应力τmax 。
破坏条件： （ ——拉伸时， ， ）
复杂应力状态下： 带入上式
得：
强度条件： ────────────（C）
评价：
1、此理论能满意地解释下述现象：
⑴塑性材料单向拉伸时，45°斜面有τmax，滑移线。
⑵脆向材料轴向压缩时大致与轴线成45°方向斜面破坏。
⑶三向均匀受压（σ1-σ3=0，即τ=0、τmax=0，应力圆上是个点圆）材料极不容易破坏的现象。
2、这个理论没有考虑σ2的影响，显然是个缺陷。
3、这个理论不能解释：
⑴脆性材料简单拉伸，并不在τmax面上破坏。
⑵三向均匀受拉，也应该不易破坏（∵同样也是个点圆，τ=0）。
以上三个理论是十七世纪提出来的，因此称为古典三理论。

第四强度理论——均方根剪应力理论
假设：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的均方根剪应力 。这个均方根剪应力 在数量上与单元体的三对主剪应力。
、 、 有关
可表达成下式：

即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的均方根剪应力达到单向拉压危险状态时的均方根剪应力 时，材料就要发生塑性屈服破坏。
则破坏条件：
而单向拉压情况下：
于是，强度条件： ────（D）

评价：
1、在二向应力状态下，试验资料表明：按这个理论计算所得的结果，基本上与试验结果相符，它比第三强度理论更接近实际情况。
2、该理论能满意解释三向均匀受压不易破坏的现象。
3、在机械制造工业中，第四强度理论和第三强度理论都得到广泛的应用。

第四强度理论——形状改变比能理论
又称： 能量理论u
均方根剪应力理论
假设：决定材料达到危险状态的主要因素是单元体的形状改变比能ud.
即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的形状改变比能ud达到了材料在单向应力状态下进入危险状态时的形状改变比能ud，它就处于极限状态。
破坏条件：ud= ，材料在单向应力状态下进入危险状态时的形状改变比能

,
强度条件： ──────（D’）
评价：
1、这个理论的本质仍然是剪应力是使材料达到危险状态的决定因素。
2、这个理论能满意地解释三向均匀受压极不容易破坏的现象。
3、这个理论不能解释：
⑴脆性材料在简单拉伸时发生脆断的情况；
⑵三向均匀受拉，按此理论材料不会发生破坏，这与事实不符。
4、试验资料表明：由这一理论计算所得的结果基本上与试验结果相符，它比第三强度理论更接近实际情况。
(三)相当应力
综合公式（A）、（B）、（C）、（D），按四个强度理论所建立的强度条件，可写成统一的形式：
σr≤[σ]
式中的σr是根据不同的强度理论所得到的复杂应力状态下几个主应力的综合值。这种主应力的综合值和以它作为轴向拉伸时的拉应力在安全程度上的是相当的，通常称σr为相当应力。
四个强度理论的相当应力表达式分别为

μ

(四)强度理论的选用
一般说来：
第一、二强度理论用于脆性材料；
第三、四强度理论用于塑性材料。

例题10-1 有一铸铁制成的构件，其危险点处的应力状态如图所示。材料的容许拉应力[σ+]=35MPa,压应力[σ-]=120 MPa,试校核此构件的强度。

图10-10
解：1、计算主应力

， ，
2、强度理论选用。
∵铸铁是脆性材料 ∴采用第一强度理论校核

3、结论：
根据第一强度理论的计算结果可知。该构件强度足够。

例题10-2 在钢材Q235制成的构件中的危险点处取应力状态如图所示。已知钢的[σ]=170MPa,试校核强度。

图10-9
解：1、计算主应力
根据应力状态，分别求出
MPa MPa MPa
2、强度理论选用
Q235—塑性材料，采用第三或第四强度理论校核

3、分析与讨论
根据第三强度理论。该构件安全
∵ ∴满足第三强度则第四理论必然满足。

例题10-3 单元体如图所示，材料的泊松比μ=0.3。

图10-11
⑴求主应力，并在单元体图中表示出主应力及其作用平面；
⑵若用第二强度理论进行强度计算，试计算其相当应力，并在单元体中表示出相应的危险截面，然后再在应力圆上用一个D点来表示这个平面；
⑶若用第三强度理论进行强度计算，试计算其相当应力并在单元体中表示出相应的危险截面，然后再在圆上用一个E点来表示这个平面。
解：⑴求主应力及其作用平面：

图10-12

∴ ， ，

⑵求 并图示相应的危险截面及其在应力圆上的相应点D

图10-13
μ

⑶求 并图示相应的危险截面及其在应力圆上的相应点E

图10-14

材料力学的三大基本任务之一。在材料力学中，许多的知识点都是为解决强度问题而作准备的，比如约束、约束反力、内力、应力、强度理论等。材料力学中强度理论一般主要有第一、第二、第三、第四强度理论。这些强度假设理论中，都涉及到主应力问题，而主应力的求解，就必须要了解一点的应力状态，一点的应力状态的掌握又必须具备诸如内力应力等的概念。所以强度理论是工程力学中的终极任务之一。
具体点说，强度理论可以解决诸如轴向拉压强度问题、扭转强度问题、弯曲强度问题以及组合变形的强度问题。

　　材料力学四大强度理论：
　　第一强度：最大拉应力理论，适用于脆性材料，例如：铸铁。
　　第一强度理论又称为最大拉应力理论，其表述是材料发生断裂是由最大拉应力引起，即最大拉应力达到某一极限值时材料发生断裂。
　　第二理论：最大伸长线应变理论，只要极少数脆性材料复合，应用很少。
　　第二强度理论 又称最大伸长应变理论。它是根据 J.-V.彭赛列的最大应变理论改进而成的。主要适用于脆性材料。它假定，无论材料内一点的应力状态如何，只要材料内该点的最大伸长应变ε1达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极限值εi，材料就发生断裂破坏，其破坏条件为：
　　ε1≥εi (εi>0)。
　　第三理论：最大切应力理论，适用于塑性材料，例如低碳钢，形式简单，应用极为广泛。

　　第三强度理论 又称最大剪应力理论或特雷斯卡屈服准则。
　　这个理论的塑性破坏条件为：
　　σ1-σ3≥σy，
　　式中σy是屈服正应力。
　　第四理论：畸变能密度理论，适用于大多数塑性材料，比第三准确，但不如第三方便。
　　第四强度理论 又称最大形状改变比能理论。该理论适用于塑性材料。

　　

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